建築與幾何

田中泓

建築物的設計除了應用歐幾里得幾何及羅巴切夫斯基幾何，隨着繪製工具及測量儀器的不斷發展，一些歷史上不能實現的空間形狀亦在近世紀被應用在建築物。

首先介紹的是黎曼幾何，由德國數學家黎曼在十九世紀中期提出的幾何理論，亦稱“橢圓幾何”。

黎曼幾何不承認平行線的存在，並規定在同一平面內任何兩條直線都有公共的交點，而直線可以無限延長，但總長度是有限的。

黎曼幾何將曲面看成獨立的幾何實體，並將空間的維度擴展至四維及以上的維度。

葉狀結構就是由黎曼幾何理論衍生出來的，該種結構將曲面分解成一族曲線，每根曲線被稱為一片葉子，而葉子層疊在一起構成曲面。

使用這結構的最典型建築例子，是已故建築師扎哈設計的北京大興國際機場，其屋頂內部的鋼架結構由兩族彼此垂直的曲線組成。

隨後要介紹的是分形幾何，一九七三年由數學家芒德勃羅提出，其理論將維數從整數擴大至分數，以研究無限複雜具備自相似結構的不規則幾何形態，被認為是連接人造物與大自然的重要幾何學。

在大自然中，枝葉、果實、珊瑚的結構都能應用分形幾何作理解。

古代穆斯林建築拱頂的複雜幾何結構，就應用了分形幾何（雖然當時還未有相關的數學理論），日本建築師伊東豐雄在東京設計的TODS大樓彷似樹枝結構的建築立面，就利用了分形幾何理論。另外，日本建築師Yu Momoeda在長崎打造的一座小教堂，其室内由一組樹枝狀木結構支撐（見圖），也是應用了分形幾何為結構系統基礎。

最後是拓撲幾何，是研究地形地貌的數學理論，為建築設計形式開拓了新的維度。

拓撲幾何主要研究不變性，即“拓撲等價”，例如，圓形、方形和三角形在拓撲變換的條件下都是等價圖形。對任意形狀的閉曲面，只要不把曲面撕裂或割破，其變換就是拓撲變換。這理論應用在建築設計中，可以創造出自由的非線性空間。

舉一個在澳門可以看到的例子，在路氹城由已故建築師扎哈構思的新濠天地摩珀斯酒店的外型就利用了拓撲理論。

能夠實現這些奇特造形的設計，需要出現新的數學理論，亦需要新的繪圖工具，而上述建築物的設計與建造，都需要特別的電腦軟件作為設計輔助。

走在街上看到一幢幢建築物，不妨試試分辨其背後的幾何原理，會是理解建築物的另一個角度。（三 · 完）

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